第3章
CHAPTER 3
数字控制器的
设计与实现
一个控制系统的整体特性,既与被控对象的特性有关,也与控制器有关。而被控对象的特性是由其本身的工作环境、运行条件和功能目标所决定的,往往不能随意更改,只有通过改变控制器的特性,来影响整个系统的特性,从而满足系统的整体性能指标。控制系统的重要设计任务就是控制器的设计。
对离散采样控制系统来说,数字控制器的设计就是确定控制器的脉冲传递函数D(z)。常见的方法有两种: 一是根据对应连续系统的设计方法确定控制器的传递函数D(s),然后利用离散化方法求出近似的D(z); 二是根据对象的脉冲传递函数G(z)、给定输入信号的R(z)以及系统的特性要求,确定系统广义闭环脉冲传递函数Φ(z),然后求出控制器的脉冲传递函数D(z)。先者称为近似设计方法,后者称为解析设计方法。
如何根据连续系统的传递函数D(s)求出对应离散系统的脉冲传递函数D(z)?这就是离散化方法的任务,离散化方法有积分变换法、零极点匹配法和等效变换法之分。
由于不少系统对象的脉冲传递函数G(z)难以获取,人们选用了一种适用性较好的控制器传递函数D(s),这就是PID控制。PID控制是一种基于给定值与输出值之间偏差的比例、积分、微分的反馈控制,它是一种适用面广、历史悠久的控制规律,在计算机离散采样控制系统中得到了广泛的应用。数字PID控制就是结合计算机逻辑运算的特点来实现的PID控制。数字PID控制器的脉冲传递函数D(z)可通过离散化方法,由连续系统的D(s)求得。然而,数字PID控制器的D(z)不仅仅是连续系统PID控制器D(s)的简单近似,而且还可以进行多种优化。
最少拍随动控制系统的设计是一种解析设计方法,其设计目标就是使系统的输出以最快的响应速度跟踪随机变化的输入信号,而最少拍无纹波随动系统不仅是追求快的响应速度,还要兼顾控制器的输出没有纹波,以达到更好的控制质量。
最终如何来实现由近似设计方法或解析设计方法得到控制器的D(z)呢?除了可用硬件来实现D(z)外,更普遍的办法是利用计算机软件,通过迭代法求解差分方程来实现D(z)。由D(z)可得到相应的实现控制方框图、差分方程,按照状态空间描述方法也可得到相应的状态方程和输出方程。对高阶的D(z),可通过串行或并行实现来减少由于系数误差对系统性能造成的影响。
本章首先给出了数字控制器的设计方法,分析了几种离散化方法的原理和特点,接着介绍数字PID控制器的基本算式、优化措施和整定方法,然后介绍属于解析设计方法的最少拍随动控制系统(包括最少拍无纹波随动控制系统)的设计方法,最后介绍控制器算法的实现方法。
3.1数字控制器的设计方法
3.1.1近似设计法
根据采样定理,连续信号的控制系统可用离散采样控制系统来代替,如图31(a)所示,其中被控对象G(s)可假定含有零阶保持器ZOH。简化后可看成由控制器D(z)与被控对象G(z)组成的反馈控制系统,如图31(b)所示。离散采样控制系统的广义闭环传递函数为Φ(z),如图31(c)所示。
图31离散采样控制系统框图
近似设计法是建立在连续系统的D(s)基础上的,因此也称模拟设计法、间接设计法。数字控制器D(z)的近似设计过程如下:
(1) 选择合适的采样频率,考虑零阶保持器ZOH的相位滞后,根据系统的性能指标和连续域设计方法,设计控制器的传递函数D(s)。
(2) 选择合适的离散化方法,将D(s)离散化,获得数字控制器的脉冲传递函数D(z),使两者性能尽量等效。
(3) 检验计算机控制系统的闭环性能。若不满意,可进行优化,选择更合适的离散化方法、提高采样频率。必要时,可增加稳定裕度(相对稳定程度的参数)等参数,重新修正连续域的D(s)后,再离散化。
(4) 对D(z)满意后,将其变为数字算法,在计算机上编程实现。
3.1.2解析设计法
设离散系统结构如图31(b)所示。则与连续系统中Φ(z)与G(z)关系式(221)和式(222)类似,有表达式
Φ(z)=Y(z)R(z)=D(z)·G(z)1+D(z)·G(z)(31)
D(z)=P(z)E(z)=Φ(z)G(z)·[1-Φ(z)](32)
解析设计法与连续系统的D(s)没有直接联系,它是根据系统的G(z)、Φ(z)以及输入R(z)来直接确定D(z),因此也称精确设计法、直接设计法。数字控制器D(z)的解析设计过程如下:
(1) 根据系统的G(z)、输入R(z)及主要性能指标,选择合适的采样频率;
(2) 根据D(z)的可行性,确定闭环传递函数Φ(z);
(3) 由Φ(z)、G(z),根据式(32)确定D(z);
(4) 分析各点波形,检验计算机控制系统的闭环性能。若不满意,重新修正Φ(z);
(5) 对D(z)满意后,将其变为数字算法,在计算机上编程实现。
最后需要说明: 上述两种方法都是基于离散采样控制系统对连续信号对象的控制,而对顺序控制、数值控制、模糊控制等,其控制器的设计需要采用其他的设计方法,如基于有限自动机模型的顺序控制器设计、基于连续路径直线圆弧插值的数值控制器设计、基于模糊集合和模糊运算的模糊控制器的设计等。
3.2离散化方法
如果已知一个连续系统控制器的传递函数D(s),根据采样定理,只要有足够小的采样周期,总可找到一个近似的离散控制器D(z)来代替D(s)。对一个连续系统中的被控对象G(s),也可用一个近似的G(z)来仿真G(s)的特性。
有许多成熟的方法,可根据系统的G(s)、Φ(s)等要求设计出D(s),由此求出近似的D(z),就可由计算机来实现D(z)。
由D(s)求出D(z)的方法有多种,如积分变换法、零极点匹配法和等效变换法,下面分别介绍这些方法,并以数值积分法为重点。
3.2.1积分变换法
积分变换法是基于数值积分的原理,因此也称数值积分法。积分变换法又分为矩形变换法和梯形变换法,矩形变换法又分为向后差分法或后向差分法、向前差分法或前向差分法。
1. 向后差分法
设某控制器的输出p(t)是输入e(t)对时间的积分,即有如下关系式
p(t)=∫t0e(τ)dτ,或dp(t)dt=e(t),dp(t)=e(t)dt
e(t)的波形如图32所示。假定在(k-1)T、kT时刻的输入e(t)分别记为e(k-1)、e(k),输出p(t)分别记为p(k-1)、p(k),则有
p(k)=∫kT0e(t)dt=∫(k-1)T0e(t)dt+∫kT(k-1)Te(t)dt=p(k-1)+∫kT(k-1)Te(t)dt
如用矩形面积近似增量的积分面积d(p(k)),则有
d(p(k))=∫kT(k-1)Te(t)dt=p(k)-p(k-1)≈e(k-1)·T(采用向前差分)
或
d(p(k))=∫kT(k-1)Te(t)dt=p(k)-p(k-1)≈e(k)·T(采用向后差分)
……