非线性系统的全局能控性

《非线性系统的全局能控性》从理论上论述非线性系统的全局能控性.主要介绍平面仿射非线性系统和几类特殊的高维非线性系统的全局能控性判据,以及几类多项式系统全局能控性的判别算法.另外,《非线性系统的全局能控性》也对平面仿射非线性系统的全局渐近能控性及全局镇定性做一点讨论.

目录
前言
第1章预备知识1
1.1函数论与微分流形中的一些基本结果1
1.1.1函数的可微延拓1
1.1.2卷积与磨光函数3
1.1.3光滑同伦与光滑同痕4
1.1.4可积性与Frobenius定理7
1.2常微分方程8
1.2.1常微分方程一般性定理9
1.2.2平面上的常微分方程12
1.2.3Gronwall不等式与比较原理13
1.2.4稳定性理论14
1.3实代数几何17
1.3.1Sturm定理17
1.3.2多项式完全判别系统22
1.3.3多项式的实根隔离24
第2章非线性系统的全局能控性I:平面情形27
2.1控制向量场无奇点27
2.1.1控制*线28
2.1.2能达集32
2.1.3全局能控性的判据40
2.2控制向量场有唯一奇点47
2.2.1主控制*线48
2.2.2全局能控性的判据49
2.3非仿射情形54
第3章非线性系统的全局能控性II:高维系统58
3.1余维1的高维系统.58
3.1.1控制超*面58
3.1.2余维1之常控制向量系统60
3.2单输入的高维系统61
3.2.1二维子系统与三角形结构61
3.2.2应用与例子66
第4章非线性系统的全局能控性III:多项式系统75
4.1平面情形75
4.1.1.*判别式序列76
4.1.2全局能控性的判别算法79
4.2高维情形82
4.3两个杂例86
4.3.1三维情形86
4.3.2四维情形94
第5章全局渐近能控性与全局镇定性101
5.1概念与定义101
5.2平面系统的全局渐近能控性103
5.3猜想与反例110
参考文献115
索引119
后记122

第1章预备知识
　　1.1函数论与微分流形中的一些基本结果
　　本节主要介绍函数论与微分流形与拓扑及相关理论中的一些基本知识. 主要参考文献是文献 [1] ～ [6].
　　1.1.1函数的可微延拓定理
　　1.1设 B(r1)，B(r2)是 Rn中以原点为中心的两个同心球 ，且半径 r1 　　上面函数也称为截断函数. 下面例子说明定理 1.1中定义的截断函数是存在的.令
　　(1.1.1)
　　其中， x =(x1，x2， ，xn)T，函数 ζ(t)定义为
　　令 A为 n维欧氏空间 Rn上的一个有界或无界的闭集 ， f(x)是定义在 A上的一个连续函数 .由拓扑学中的 Tietze扩张定理 (参见文献 [7])，可知函数 f(x)可以连续地延拓到整个空间 Rn上去 .这样自然出现两个问题 ，其一是 :是否存在一个函数在 Rn . A上是可微函数，甚至是实解析函数à，其在 A上的值等于 f在 A上的函数值 ?另一是 :函数 f(x)在 A上具有给定阶数的可微性á，能否把它可微延拓到整个空间 Rn上去 ，并且可微的阶数是相同的 ?在文献 [4]中， Whitney对这两个问题给出了肯定的回答.下面我们来介绍其主要结果.
　　注 1.1为简单起见 ，我们把涉及 n个变量的式子写成似乎是单变量的紧凑形式.我们把 f0 0(x1， ，xn)写成 f.0(x) 作为例子，下面定义1.1中的式(1.1.3)即为 的紧凑形式.
　　为此需要对指标做进一步解释 .对于 n-重指标 k.=(k1，k2， ，kn)， .l =(l1，l2， ，ln)，我们令.l!= l1! ，再令 kn，于是有 又令 rxy表示点 x和 y之间的距(k)离.
　　函数在 Rn中子集 A上可微是什么意思呢?为此我们定义 C 类函数.
　　定义 1.1令 f(x)为定义在集合 A . Rn上的函数 .又令 m为非负整数 m我们称定义在 A上的函数 f(x)= f0.(x)为在函数 fk.(x)(σk m)意义下的 C 类函数，如果对满足 σ m的所有 n-重指标 k.，存在定义在 A上函数 fk.(x)，使得对每一个 fk.(x)(σk (k) m)，有
　　(1.1.3)
　　其中 Rk.(x x)有下面性质 :给定 A中的任何点 x0和任何 .> 0，则存在 δ> 0使得如果 x和 x ′是 A中任意满足 rxx0 <δ和 rx ′ x0 <δ的两点，则
　　 |R.(x ′ ; x)| . r m.σk ′ kxx
　　定理 1.2(Whitney)令 A为 Rn中的一个闭子集及 f(x)= f0.(x)在 A上m为在 fk.(x)(σ m)意义下的 C 类函数 (m可为有限值或无穷 ).则存在定义在全空间 Rn上(k) 函数 F (x)，且 F (x)是通常意义下的 Cm函数，使得
　　(1) F (x)= f(x)， x ∈ A;
　　(2)k.(x)= fk.(x)， x ∈ A (σ m);
　　(3) F (x)在 Rn . A上是实解析的 .
　　显然上面的结论 (2)包含了结论 (1).定理 1.2大体上意思是 :如果一个定义在闭集 A上的函数 f(x)是可微的 ，则存在一个在全空间 Rn可微的延拓函数 F (x).我们把这个定理称作 Whitney可微延拓定理.
　　1.1.2卷积与磨光函数
　　设 f(x)与 g(x)是 Rn上的两个可测函数 .如果对于几乎处处的 x，积分f(x . y)g(y)dy存在，就称它是 f(x)与 g(x)的卷积，记为 (f . g)(x).Rn
　　在 L1(Rn)中函数的卷积运算具有如下性质 .设 f， g， h ∈ L1(Rn)， a，b ∈ R，则有
　　(1) f . g = g . f (可交换性);
　　(2) f . (g . h)=(f . g) . h (可结合性);
　　(3) (af + bg) . h = a(f . h)+ b(g . h) (线性);
　　(4) ∥f . g∥1 . ∥f∥1∥g∥1 (连续性).
　　定理 1.3设 1 . p . ∞， 1 . q . ∞，以及 p 1+1 q . 1和 1 r = p 1+1 q . 1.如果 f ∈ Lp(Rn)，g ∈ Lq(Rn)，则 f . g ∈ Lr(Rn)，且 ∥f . g∥r . ∥f∥p ∥g∥q (1.1.4)令 Cm 0 (Rn) (m可为非负整数或无穷 )表示 Cm(Rn)中具有紧支撑集的函数全体.函数 f(x)的支撑集是指点集 {x|f(x) .=0}的闭包，记为 supp(f).
　　定理1.4令 n-重指标 k.=(k1，k2， ，kn).设 1 . p . ∞， f ∈ Lp(Rn)， K ∈ Cm 0 (Rn).则 f . K ∈ Cm(Rn)，且 Dk.(f . K )(x)=(f . Dk.K )(x)，σk m
　　(1.1.5)
　　给定函数 K (x)，我们考虑函数族 K.(x) = nKx .= nKx1 . ， x2 . ， ， xn .， . > 0 (1.1.6)
　　Z定理 1.5设 K ∈ L1(Rn)
　　且K dx =1. 1.若 f ∈ Lp(Rn)， 1 . p< ∞，lim ∥f . K f∥p =0
　　(1.1.7)